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Comme dans le modèle à une période, prenons deux probabilités risque neutre Q1 et Q2. En temps continu, on obtiendra naturellement le portefeuille de duplication comme dérivée de la valeur du produit dérivé par rapport à la valeur du sous-jacent. Si nous considérons un produit dérivé dont la valeur ne dépend que de la valeur finale, on peut calculer sa valeur sur chacun des noeuds à maturité. Pour connaître son prix en 0, on doit donc faire n!

Remarque 4.

Définition 4. Proposition 4.

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Supposons que X est une martingale. Nous en déduisons que U est intégrable. De plus, par définition, U est bien adapté. Théorème 4.

Sous ces conditions, il existe une unique probabilité neutre au risque notée Q sous laquelle les variables aléatoires Yk sont i.

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Remarque 5. Définition 5. Le premier terme à droite tend vers 0 car le mouvement brownien a ses trajectoires uniformément continues sur [0, T ] en tant que fonctions continues sur un compact.

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Le résultat obtenu est donc cohérent avec la propriété fractale du mouvement brownien. Un mouvement brownien oscille en permanence et donc la longueur de ses trajectoires est infinie. Ceci est également lié au fait que les trajectoires du MB, bien que continues ne sont pas régulières.